Imaginäre Zahlen In Fraktalen Forex Verwendet

Fractal-Explorer Komplexe Zahlen Einleitung Bestimmte Fraktale wie das Mandelbrot-Set Fraktal oder das Julia-Set Fraktal sind aus Iterationen mit komplexen Zahlen gebaut. Komplexe Zahlen bestehen aus zwei Teilen: dem realen und dem imaginären Teil. Die Grundform ist eine bi. Wo a das Reelle ist und b der Imaginärteil. I ist die imaginäre Einheit, die folgende Eigenschaft aufweist: i -1. Am Anfang könnte es schwer sein zu glauben, dass eine Zahl quadriert etwas Negatives führen kann, aber sobald Sie diese Tatsache akzeptieren, werden komplexe Zahlen viel leichter zu verstehen sein. Diese Tatsache bietet eine enorme Menge an Möglichkeiten, nicht nur können unlösbare Gleichungen gelöst werden (d. h. x10), sondern die zweite Dimension innerhalb der komplexen Zahlen erlaubt es, über eine zweite Variable zu iterieren. So erstellen Sie plotbare Ergebnisse. Grundlegende Operationen Die üblichen Gesetze zum Arbeiten mit Zahlen können nicht auf komplexe Zahlen angewendet werden. Sie brauchen eine spezielle Behandlung. Grundsätzlich fügen Sie nur den Realteil zum Realteil und zum Imaginärteil zum Imaginärteil hinzu. (Abi) (cd) (ab) (bd) i Subtraktion: Die Subtraktion ist ziemlich ähnlich der Addition: (abi) - (c di) (ab) (bd) i Multiplikation: Wegen der Tatsache, dass I-1 ist die Multiplikation komplexer Zahlen etwas komplizierter. Wegen i ist -1 die Multiplikation der beiden Imaginärteile eine reelle Zahl. Der resultierende Realteil sind die beiden Realteile, die die beiden Imaginärteile vervielfachten. Der resultierende Imaginärteil ist der Imaginärteil des ersten und des Realteiles der zweiten komplexen Zahl plus des Imaginärteils des zweiten und des realen Teils des ersten. (A b b) (b c ad) i Die komplexe Ebene Wegen der beiden Teile, des reellen und des imaginären Teils, ist eine komplexe Zahl im Grunde genommen eine Zahl mit zwei Dimensionen. Alle eindimensionalen Zahlen (natürlich, irreal, real usw.) können auf die Zahlenzeile ploden. Für komplexe Zahlen braucht man eine Ebene, die die komplexe Ebene genannt wird. Üblicherweise wird die y-Achse für den Imaginärteil und die X-Achse für den Realteil verwendet. Anwendungen Die Iteration mit komplexen Zahlen wird in zahlreichen Fraktalen verwendet. Die im Mandelbrot-Set verwendete Iterationsformel ist: Z und C sind komplexe Zahlen. Der Startwert für Z ist immer 0. C ist der konstante Teil, der die Lage der Iterationsreihe in der komplexen Ebene bestimmt. Weitere Informationen zum Mandelbrot-Set. Welt der Fraktale Fraktale erstellen: Die Mathematik Die Mathematik hinter Fraktalen ist unglaublich interessant und fesselnd. Sie müssen ein Verständnis auf Algebra und einige komplexe Zahl Hintergrund ist vorzuziehen. Wir haben bereits beschrieben, wie Fraktale durch die Anwendung von Funktionen erstellt werden, aber nie erklärte jede Funktionen und wie sie funktionieren. In diesem Abschnitt beschreiben wir die beiden beliebtesten Fraktalsets und wie sie funktionieren, das Julia-Set und das Mandelbrot-Set. Um Fraktale zu verstehen, müssen Sie komplexe Zahlen verstehen. Komplexe Zahlen sind eine Möglichkeit, zwei Koordinaten (x, y) in eine Zahl mit zwei Teilen zu setzen. Eine ist eine reelle Zahl, die jede reguläre Zahl wie 3, 8.5 oder 1245 ist. Die andere ist eine imaginäre Zahl, die als Quadratwurzel einer negativen Zahl definiert ist und durch i (definiert als i2-1, Also isqrt -1) mal ein Koeffizient. Wenn Sie eine Zahl nehmen und quadrieren, wird es immer positiv. So wie nehmen Sie die Quadratwurzel einer negativen Zahl Sie kann nicht, das ist, warum sein genanntes Imaginäres. Also bestehen komplexe Zahlen aus einer reellen Zahl plus einer imaginären Zahl. Beispiele umfassen (1.343i), (pi343.6i) und (03i). Komplexe Zahlen werden in Fraktalen verwendet, da die reelle Zahl verwendet wird, um die x-Koordinate darzustellen, und die komplexe Zahl wird verwendet, um die y-Koordinate darzustellen. Wenn also der Computer (3,8) iterieren wollte, würde er die Funktion auf (38i) anwenden. Auf diese Weise beschäftigt sich die Funktion mit einer Zahl, auf die die meisten mathematischen Eigenschaften, wie die assoziativen und distributiven Gesetze, anstelle eines Satzes von x - und y-Koordinaten angewandt werden können. Es ist wichtig anzumerken, dass die komplexen Koordinaten nicht die gleichen Koordinaten der Pixel sind, die sie darstellen. Pixel-Koordinaten sind immer von 0 bis zu den Grenzen des Bildschirms, in der Regel so etwas wie (786, 233). Die Bandbreite, die wir verwenden, hängt vom Fraktal ab, aber es ist gewöhnlich etwas wie x: -3 bis 3y: -2 bis 2. Um die Funktion auf ein Pixel zu übertragen, teilen wir die Einheiten in Hunderte von winzigen Segmenten auf Computer beschäftigen sich mit den winzigen Bruchstücken. Performing-Funktionen auf komplexe Zahlen ist ähnlich wie reale Zahlen, aber es gibt einige wichtige Unterschiede. Hinzufügen und Subtrahieren ist einfach. Wir tun es algebraisch, addieren und subtrahieren die realen und komplexen Teile separat. Multiplizieren komplexer Zahlen ist ein wenig komplexer. Unter Verwendung des Verteilungsgesetzes können wir die Multiplikation mit komplexen Zahlen ähnlich denen mit reellen Zahlen lösen. Zuerst haben wir die verschiedenen Ausdrücke durch das Verteilungsgesetz getrennt, dann machen wir die Multiplikation. Wir drehen i2 in -1 und fügen dann wie Terme hinzu. Division von komplexen Zahlen ist nicht viel in Fraktalen verwendet, aber hier ist die Formel sowieso. Wir gehen nicht alle Schritte durch: (x1y1i) (x2y2i) (x1x2 y1y2) i (x2y1 - x1y2) (x22 y22) Wenn das für Sie sinnvoll ist, gut. Wenn nicht, machen Sie sich keine Sorgen. Jetzt wissen wir, wie komplex Zahlen verwendet werden. Als nächstes beschreiben wir eine Funktion verwendet, um ein Fraktal zu machen. Es gibt unendlich viele solcher Funktionen, aber wir möchten zeigen, wie ein Julia-Set zu erstellen, da die Julia-Set ist eines der berühmtesten und macht Bilder wie diese: So, jetzt wissen wir ein wenig über komplexe Zahlen. Das nächste, was zu tun ist, zu erklären, eine Funktion verwendet, um ein Fraktal zu generieren. Wie im ersten Teil erwähnt, gibt es unendlich viele dieser Funktionen, aber wir verwenden eine Funktion für ein Julia-Set als Beispiel. Die Funktion für bestimmte Julia-Mengen ist: f (z) z2c. Das ist es. Die neue komplexe Koordinate wird auf den alten Platz quadriert plus quotcquot gesetzt. Was ist c Es ist einfach eine komplexe Zahl, und es kann jeden Wert, den Sie mögen. Unterschiedliche c-Werte ergeben unterschiedliche Julia-Sets. Verwenden wir (1 1i) als c. Wenn wir also mit dem Punkt (2 1i) beginnen würden, wäre die erste Iteration: 22 21i 21i 1i1i 1 1i 4 2i 2i 1 (-1) 1 1i Also führt die erste Iteration zu (4 5i). Wir können es jetzt wieder tun. 44 45i 45i 5i5i 1 1i 16 20i 20i 25 (-1) 1 1i So liefert unsere zweite Iteration (-8 41i). Wir fahren fort, dies zu tun, wie in Teil eins beschrieben, und jedes Mal, wenn wir testen, um zu sehen, wenn es den Link auf dem Screenquot hat. Tatsächlich prüfen wir, ob der Punkt jemals den Kreis verlässt, der auf den Ursprung mit dem Radius 2 zentriert ist. Wir können beweisen, dass, wenn er diesen Kreis verlässt, er in die Unendlichkeit geht, so dass wir einfach aufhören zu iterieren, sobald er den Kreis verlässt . Die Anzahl der Male, die wir die Funktion wiederholen müssen, bevor sie den Kreis verlässt, wird verwendet, um die Farbe für den ursprünglichen Punkt zu wählen. Wir müssen auch eine Grenze der Iteration auf unser Fraktal setzen. Da die Punkte innerhalb des Mandelbrot-Satzes nie den Bildschirm verlassen, werden wir unsere Funktion für immer wiederholen, wenn wir darauf warten, dass sie unseren Kreis verlassen. Um dies zu umgehen, setzen wir eine Grenze für die Anzahl der Male, die wir es iterieren werden. Wenn der Punkt nach diesen vielen Iterationen noch in unserem Kreis liegt, nehmen wir an, dass er Teil des Satzes ist. Je mehr Iterationen wir verwenden, desto genauer und detaillierter wird unser Bild sein, aber je länger es dauert, um zu erzeugen. Wenn wir dies mit jedem Pixel getan haben, haben wir ein Fraktal. Andere Gleichungen als diese erzeugen unterschiedliche Fraktale. Mandelbrot-Sets werden genauso hergestellt wie Julia, außer dass c für jeden Punkt unterschiedlich ist. Beim Erzeugen eines Mandelbrot-Satzes ist c gleich dem Punkt, für den wir die Farbe bestimmen. Wir beginnen mit 0, dem Ursprung. Dann wird es quadriert und addiert c. Wir setzen diesen neuen Wert wieder und fügen wieder c hinzu. Wenn dieser letztendlich den Kreis verlässt oder wenn wir unsere Iterationsgrenze erreicht haben, dann färben wir den Punkt auf der komplexen Koordinate c. Dann gehen wir zum nächsten Punkt. C wird zu diesem neuen Punkt geändert, und wieder beginnen wir mit dem Ursprung und iterieren. Natürlich gibt es viele andere Fraktale, die mit einfachen Gleichungen erstellt werden können. Wenn Sie Fractint herunterladen, können Sie Ihre eigenen Formeln erstellen und führen Sie sie zu sehen, was Fraktale sie produzieren werden. Um zu lernen, wie Fraktale angewendet werden, lesen Sie die Lektion für Fraktale und Chaos-Theorie in der Real World Speziellen Dank an The Fractory für die Bilder und die Grundlage für diese Lektionen.